TURUNAN
Turunan adalah pengukuran
terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input, atau secara
umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan
besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi.
·
y’ adalah
simbol untuk turunan pertama.
·
y’’ adalah
simbol untuk turunan kedua.
·
y’’’ adalah
simbol untuk turunan ketiga.
·
dy/dx juga termasuk
symbol turunan.
1.
Turunan Pertama
Rumus
:
y =
Cxn
ket
: C & n = Konstanta Real
contoh
:
·
y =
2x4 , maka dy/dx = 2 . 4 x 4-1 = 8x3
·
y =
x3 + 2x2 , maka dy/dx = 3x2 + 4
2.
Turunan Kedua
Turunan
kedua dinotasikan sebagai berikut :
d2y/d2x
atau y’’
Turunan
kedua merupakan turunan yang diperoleh dengan menurunkan kembali turunan
pertama. Perhatikan contoh berikut :
y = x3 + x2 +
x + 4
dy/dx
= 3x2 + 2x + 1
d2y/d2x
= 6x + 2
3.
Turunan Trigonometri
Berikut
rumus turunan fungsi Trigonometri :
a)
f (x) = sin x , maka f ‘
(x) = cos x
b)
f (x) = cos x , maka f ‘
(x) = - sin x
c)
f ‘ (x) = sec2x
= 1/cos2x
perhatikan contoh berikut :
jika
y = x2 sin 2x , maka dy/dx ?
jawab
:
y
= x2 sin 2x
misalkan
:
u(x)
= x2 , maka u’(x) = 2x
v(x)
= sin2x , maka v’(x) = 2 cos 2x
y
= u(x) . v(x)
y
‘ (x) = u’(x)v(x) + u(x) v’(x)
=
2x (sin 2x) + x2 (2 cos 2x)
=
2x sin 2x + 2x2 cos 2x
TURUNAN
IMPLISIT
Turunan
implisit yaitu memuat 2 variabel atau lebih, variable – variable tersebut
terdiri dari variable bebas dan tidak bebas, biasanya variable tersebut
dinyatakan dalam x dan y dimana variable x dan y terletak di dalam satu ruas
sehingga tidak dapat dipisahkan.
a. Bentuk
umum fungsi implisit
Secara
umum bentuk turunan fungsi implisit adalah f (x,y) = 0, mencari turunan fungsi
implisit sama dengan mencari solusi bentuk umumnya dan prinsipnya tidak jauh
berbeda dengan mencari turunan fungsi biasa.
Contoh
:
x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19
langkah
pertama : Turunkan suku-suku x dan konstanta pada
kedua sisi persamaan sesuai aturan turunan biasa untuk memulainya. Abaikan
suku-suku y untuk sementara.
x2 + y2 -
5x + 8y + 2xy2= 19 memiliki dua suku x : x2 dan
-5x. Jika kita ingin menurunkan persamaan, kita harus mengerjakan ini terlebih
dahulu,
seperti ini:
x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19
(Bawalah turun pangkat 2 dalam
x2 sebagai koefisien, hapus x dalam -5x, dan
ubah 19 menjadi 0)
2x + y2 - 5 + 8y +
2xy2 = 0
Langkah
kedua : Turunkan
saja suku-suku y dengan cara yang sama seperti Anda menurunkan
suku-suku x. Akan tetapi, kali ini, tambahkan (dy/dx) di sebelah
masing-masing suku seperti Anda menambahkan koefisien. Misalnya, jika Anda
menurunkan y2, maka turunannya menjadi 2y (dy/dx). Abaikan
suku-suku yang memiliki x dan y untuk sementara. Kita akan melakukan langkah penurunan y selanjutnya seperti
berikut:
2x + y2 - 5 + 8y +
2xy2 = 0
(Bawalah
turun pangkat 2 dalam y2 sebagai koefisien,
hapus y dalam 8y, dan letakkan dy/dx di
sebelah masing-masing suku).
2x + 2y(dy/dx)
- 5 + 8(dy/dx) + 2xy2= 0
Langkah ketiga : mensubstitusikan suku – suku yang memiliki x
dan y. Dalam contoh kita,
2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy2 = 0
kita hanya memiliki satu suku yang memiliki x dan y yaitu
2xy2. Karena x dan y dikalikan
satu sama lain, kita akan menggunakan aturan hasil kali untuk menurunkan
seperti berikut:
2xy2 = (2x)(y2)
Missal : 2x = u
y2 = v
dalam (u × v)' = u' × v + v × u'
(u × v)' = (2x)' × (y2) +
(2x) × (y2)'
(u × v)' = (2) × (y2) +
(2x) × (2y(dy/dx ))
(u × v)' = 2y2 +
4xy(dy/dx)
Menambahkan ini ke persamaan utama
kita, jadi :
2x + 2y(dy/dx) -
5 + 8(dy/dx) + 2y2 + 4xy(dy/dx) =
0
seperti
berikut:
2x + 2y(dy/dx)
- 5 + 8(dy/dx) + 2y2 + 4xy(dy/dx) = 0
(2y + 8 + 4xy)( dy/dx) + 2x - 5 + 2y2 = 0
(2y + 8 + 4xy)( dy/dx) = -2y2 - 2x + 5
(dy/dx)
= (-2y2 - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)
Jadi, hasilnya berikut :
(dy/dx) = (-2y2 - 2x +
5)/(2(2xy + y + 4)
ATURAN
RANTAI
Aturan Rantai
merupakan aturan yang digunakan untuk menyelesaikan turunan fungsi komposisi.
Aturan ini membantu menyelesaikan turunan fungsi yang terdiri dari komposisi 2
fungsi atau lebih. Cara menyelesaikannya adalah memecah komposisi fungsi
tersebut menjadi beberapa. Komposisi fungsi yang biasanya diturunkan dengan
aturan rantai adalah bentuk pangkat dari fungsi aljabar yang terdiri dari beberapa
suku.
Contoh
1:
f(x) = (3x – 2)2
untuk menentukan turunannya, maka (3x – 2)2
diuraikan.
f(x) = 9x2 – 12x + 4, sehingga
f ’(x) = 18x – 12
contoh
2:
f(x) = (3x – 2)4
Jadikan fungsi diatas menjadi sebuah
komposisi.
Misal u = 3x – 2 , maka f(x) = u4
Lalu
selesaikan turunan f terhadap u, kemudian turunkan u terhadap x, seperti berikut :
Menggunakan rumus :
dy/dx = dy/du
. du/dx atau df/dx = df/dx . du/dx
y
= f (x) = (3x – 2)4
Misal
u = 3x – 2 , maka y = u4
dy/dx = dy/du
. du/dx
= d(u4)/du .
d(3x – 2)/dx
= 7u3 x 3
= 21u3
Jadi,
dy/dx =
21 (3x – 2)3
PENERAPAN
TURUNAN DI KEHIDUPAN SEHARI-HARI
Salah satu konsep turunan yang sering digunakan adalah
turunan pertama dan nilai maksimum serta minimum fungsi. Konsep turunan pertama
fungsi banyak digunakan dalam masalah kecepatan dengan diketahui fungsi
posisinya, sedangkan konsep nilai maksimum dan minimum fungsi digunakan dalam
masalah luas seperti luas tanah dan bangunan, volume bangun ruang, dan ilmu
ekonomi.
Contoh soal :
Seorang anak menargetkan
seekor burung dengan menggunakan ketapel yang bertengger
di sebuah pohon. Ketinggian pohon h = f (t) (dalam meter)
pada t sekon dimodelkan
dengan
f (t) = 8t2 + 250 t + 5. Tentukan kecepatan luncur kembang api
saat t = 5 sekon.
Penyelesaian:
Diketahui ketinggian pohon saat t sekon adalah:
f (t) = 8t2 + 250 t + 5
Diketahui ketinggian pohon saat t sekon adalah:
f (t) = 8t2 + 250 t + 5
Kecepatan luncur peluru ketapel
diperoleh turunan pertama dari fungsi ketinggian (posisi) peluru ketapel sebagai berikut.
f ‘ (t) = 16t + 250
⇔f ‘ (5) = 16(5) + 250 = 80 + 250 = 330
f ‘ (t) = 16t + 250
⇔f ‘ (5) = 16(5) + 250 = 80 + 250 = 330
Jadi,
kecepatan meluncur peluru ketapel saat t = 5 sekon
adalah 330 m/s.
INTEGRAL
Integral merupakan kebalikan dari turunan. Jika F(x) adalah
fungs umum yang bersifat F(x) = f(x), maka F(x) merupakan anti turunan atau
integral dari f(x). Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan sebagai
berikut :
∫
f(x) dx = F(x) + C
Keterangan :
∫ =
notasi integral
f(x)
= fungsi integral
F(x)
= fungsi integral umum yang bersifat F(x) = f(x)
C
= Konstanta
1.
INTEGRAL
TAK TENTU
Rumus Dasar :
a)
∫ a dx = ax + c
c)
Integral
Tak Tentu Fungsi Trigonometri
§ ∫ sin x dx = - cos x + C
§ ∫ cos x dx = - sin x + C
Contoh :
o
∫
2x2 + 4x + 8 dx = 2/2+1 x2+1 + 4/1+1 x1+1
+ 8x + c
= 2/3 x3 + 2x2 + 8x + c
o
∫ (2 sin x + cos 4x) dx = -2 cos x + ¼ sin 4x + c
2.
INTEGRAL
TENTU
Integral Tentu adalah
integral dengan batas-batas yang sudah di tentukan, dengan dinotasikan sebagai
berikut :
∫ba f(x)
dx = [F(x)]ba = F(b) – F(a)
Keterangan :
A dan b adalah batas bawah integral dan batas
atas integral.
Contoh :
Tentukan nilai dari ∫21
(4x3 + 2x3) dx?
Penyelesaian :
∫21(4x3
+ 2x3)dx = [4/4x4 + 2/4x4]21
=( (2)4
+ ½(2)4 ) – ( (1)4+ ½(1)4 )
= (16 +
8) – (1+ ½ )
= 24 – 1 ½
= 22 ½
A.
INTEGRAL
PARSIAL
Integral Parsial adalah suatu cara
untuk menaikan pangkat suatu bilangan dua perkalian fungsi yang berbeda
sehingga fungsi bilangan tersebut dapat menaikan pangkatnya (diintegralkan).
Integral parsial dihubungkan dengan fungsi bilangan (u) dan (dv) yang fungsi
tersebut akan dikali dan diintegralkan sesuai dengan aturan rumus integral
parsial.
Integral Parsial memiliki cara khusus dimana dua
bilangan fungsi dari (u) dan (dv) akan dihitung untuk mencari penurunan pangkat
dari (u) atau biasa disebut (du) dan mencari kenaikan pangkat (dv) atau biasa
disebut (v).
RUMUS UMUM :
∫ u.dv = u.v - ∫ v.du
Keterangan :
Dengan (u) sebagai F(x) dan (du)
sebagai F(x)'. Dan untuk fungsi (v) dan (dv) dalam soal kita memilih fungsi
(dv) dengan syarat (dv) diintegralkansehingga membentuk (v). Setalah menemukan
turunan (u) menjadi (du)dan integral (dv) menjadi (v). Nilai akan siap
dimasukan ke dalam rumus integral
parsial.
Contoh :
Untuk
(u) kita mengambil fungsi x2 dan (dv) adalah (x2 + 6x +
9) sehingga
(u)
= x2 diintegralkan, hasilnya
menjadi :
(dv) = (x2 +
6x + 9) diintegralkan, hasilnya menjadi :
(v)
= (1/3x3 + 3x2 + 9x)
Setelah
menemukan u, du, dv dan v kita melanjutkan dengan rumus Parsial, sebagai berikut :
∫
u.dv = u.v - ∫ v.du
Masukkan
nilai u, du, dv dan v kedalam rumus :
∫ x2 (1/3 x3 + 3x2 +
9x) = (x2) (1/3x3
+ 3x2 + 9x) - ∫(1/3 x3 + 3x2 + 9x) (2x)
=
1/3 x5 + 3x4 + 9x3 - ∫ 2/3x4 + 6x3
+ 18x2
=
1/3 x5 + 3x4 + 9x3 – 2/15 x5 + 3/2x4
+ 6x3
=1/3
x5 – 2/15 x5 + 3x4 + 3/2
x4 + 9x3 + 6x3
Jadi
integral parsial dari ∫ x2.(x+3)2 hasilnya 1/5x5 + 4 ½ x4 +15 x3
B. INTEGRAL SUBSTITUSI
Integral Substitusi juga merupakan salah satu teknik
penyelesaian integral. Untuk menentukan ∫ f(x) dx , kita dapat mensubstitusikan u = g(x), dengan g fungsi
yang dapat diintegralkan. Apabila substitusi itu mengubah f(x) dx menjadi h(u) du
dan apabila H sebuah anti turunan dari h, maka kita dapat menotasikannya
sebagai berikut :
∫ f(x) dx = ∫ h(u)du = H(u)+C = H( g(x) )+C
Contoh soal :
Tentukan integral dari: ∫(x2+2)2dx
Penyelesaian :
Kita Misalkan :
u = x2+2
du/dx
= 2x
dx = ½
x du
Baru kita substitusikan ke soal :
∫(x2+2)2dx = ∫
u2. ½ x du
= ½ .1/2+1 u2+1+C
= 1/6 u3+C, u
= x2+2
= 1/6(x2+2)3+C
Jadi, integral substitusi dari ∫( x2+2)2
dx adalah 1/6(x2+2)3+C
Integral
dalam kehidupan sehari-hari sangatlah luas cangkupannya seperti digunakan di
bidang teknologi, fisika, ekonomi, matematika, teknik dan bidang-bidang lainnya.
Contoh soal yang menggunakan integral dalam bidang
ekonomi :
Diketahui MR suatu perusahaan adalah 12x2+6x-5,
tentukan penerimaan totalnya (TR), jika c = 0?
TR = ∫ MR
dx
= ∫12x2+6x-5
= 12
1/3 x3 + 6 ½ x2-5x+C
= 4x3+3x2-5x
Jadi, Penerimaan totalnya (TR) adalah 4x3+3x2-5x
Ket :
MR (Management Representative)
Thanks sangat membantu saya dalam mencari reverensi tentang turunan dan integral.
BalasHapusMantap saya terbantu
BalasHapusMaaf mas koreksi sedikit biar tidak keliru
BalasHapus1. Turunan Pertama
Rumus :
y = Cxn
ket : C & n = Konstanta Real
contoh :
· y = 2x4 , maka dy/dx = 2 . 4 x 4-1 = 8x3
· y = x3 + 2x2 , maka dy/dx = 3x2 + 4=yang ini x nya ketinggalan
bukannya 3x2 + 4x ya mas? 2x2 diturunkan menjadi 2.2 x (2-1) = 4x
dalam (u × v)' = u' × v + v × u'
BalasHapusini juga, harusnya
(u × v)' = u' × v + u × v'
Terimakasih sangat membantu. Semoga terbalaskan dengan pahala. Aamiin
BalasHapusTerimakasih sangat membantu. Semoga terbalaskan dengan pahala. Aamiin
BalasHapusJadi cara membedakan soal itu adalah turunan atau integral apabila soal berbentuk cerita bagaimana ya
BalasHapus