Materi Turunan dan Integral

TURUNAN

Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan  disebut diferensiasi.

·         y’   adalah simbol untuk turunan pertama.

·         y’’   adalah simbol untuk turunan kedua.

·         y’’’  adalah simbol untuk turunan ketiga.

·         dy/dx juga termasuk symbol turunan.

1.     Turunan Pertama

Rumus :

y = Cxⁿ

ket : C & ⁿ = Konstanta Real

contoh :

^·          y = 2x⁴ , maka dy/dx = 2 . 4 x ^4-1 = 8x³

^·          y = x³ + 2x² , maka dy/dx = 3x² + 4

2.     Turunan Kedua

Turunan kedua dinotasikan sebagai berikut :

d²y/d²x atau y’’

Turunan kedua merupakan turunan yang diperoleh dengan menurunkan kembali turunan pertama. Perhatikan contoh berikut :

y = x³ + x² + x + 4

dy/dx = 3x² + 2x + 1

d²y/d²x = 6x + 2

3.     Turunan Trigonometri

Berikut rumus turunan fungsi Trigonometri :

a)     f (x) = sin x , maka f ‘ (x) = cos x

b)    f (x) = cos x , maka f ‘ (x) = - sin x

c)     f ‘ (x) = sec²x = 1/cos²x

perhatikan contoh berikut :

            jika y = x² sin 2x , maka dy/dx ?

            jawab :

                        y = x² sin 2x

                        misalkan :

                        u(x) = x² , maka u’(x) = 2x

                        v(x) = sin2x , maka v’(x) = 2 cos 2x

                        y = u(x) . v(x)

                        y ‘ (x) = u’(x)v(x) + u(x) v’(x)

                                    = 2x (sin 2x) + x² (2 cos 2x)

                                    = 2x sin 2x + 2x² cos 2x

TURUNAN IMPLISIT

Turunan implisit yaitu memuat 2 variabel atau lebih, variable – variable tersebut terdiri dari variable bebas dan tidak bebas, biasanya variable tersebut dinyatakan dalam x dan y dimana variable x dan y terletak di dalam satu ruas sehingga tidak dapat dipisahkan.

a.     Bentuk umum fungsi implisit

Secara umum bentuk turunan fungsi implisit adalah f (x,y) = 0, mencari turunan fungsi implisit sama dengan mencari solusi bentuk umumnya dan prinsipnya tidak jauh berbeda dengan mencari turunan fungsi biasa.

Contoh :

x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

langkah pertama : Turunkan suku-suku x dan konstanta pada kedua sisi persamaan sesuai aturan turunan biasa untuk memulainya. Abaikan suku-suku y untuk sementara.

x² + y² - 5x + 8y + 2xy²= 19 memiliki dua suku x : x² dan -5x. Jika kita ingin menurunkan persamaan, kita harus mengerjakan ini terlebih dahulu,

seperti ini:

x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

(Bawalah turun pangkat 2 dalam x² sebagai koefisien, hapus x dalam -5x, dan ubah 19 menjadi 0)

2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

Langkah kedua : Turunkan saja suku-suku y dengan cara yang sama seperti Anda menurunkan suku-suku x. Akan tetapi, kali ini, tambahkan (dy/dx) di sebelah masing-masing suku seperti Anda menambahkan koefisien. Misalnya, jika Anda menurunkan y², maka turunannya menjadi 2y (dy/dx). Abaikan suku-suku yang memiliki x dan y untuk sementara. Kita akan melakukan langkah penurunan y selanjutnya seperti berikut:

2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

(Bawalah turun pangkat 2 dalam y² sebagai koefisien, hapus y dalam 8y, dan letakkan dy/dx di sebelah masing-masing suku).

2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy²= 0

Langkah ketiga : mensubstitusikan suku – suku yang memiliki x dan y. Dalam contoh kita,

2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy² = 0

kita hanya memiliki satu suku yang memiliki x dan y yaitu 2xy². Karena x dan y dikalikan satu sama lain, kita akan menggunakan aturan hasil kali untuk menurunkan seperti berikut:

2xy² = (2x)(y²)

Missal : 2x = u

y² = v

dalam (u × v)' = u' × v + v × u'

(u × v)' = (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

(u × v)' = (2) × (y²) + (2x) × (2y(dy/dx ))

(u × v)' = 2y² + 4xy(dy/dx)

Menambahkan ini ke persamaan utama kita, jadi :

2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0

           

Langkah keempat : Sendirikan (dy/dx). Sekarang, yang harus di lakukan adalah menyelesaikan persamaan (dy/dx). Yaitu dengan proses distributive perkalian, dapat ditulis sebagai (a + b)(dy/dx). pindahkan semua suku lainnya di sisi lain dari tanda kurung, kemudian bagilah dengan suku-suku dalam tanda kurung di sebelah (dy/dx).

2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0

seperti berikut:

2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0

(2y + 8 + 4xy)( dy/dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

(2y + 8 + 4xy)( dy/dx) = -2y² - 2x + 5

(dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)

Jadi, hasilnya berikut :

(dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)

ATURAN RANTAI

Aturan Rantai merupakan aturan yang digunakan untuk menyelesaikan turunan fungsi komposisi. Aturan ini membantu menyelesaikan turunan fungsi yang terdiri dari komposisi 2 fungsi atau lebih. Cara menyelesaikannya adalah memecah komposisi fungsi tersebut menjadi beberapa. Komposisi fungsi yang biasanya diturunkan dengan aturan rantai adalah bentuk pangkat dari fungsi aljabar yang terdiri dari beberapa suku.

Contoh 1:

f(x) = (3x – 2)²

untuk menentukan turunannya, maka (3x – 2)²  diuraikan.

            f(x) = 9x² – 12x + 4,       sehingga

            f ’(x) = 18x – 12

contoh 2:

            f(x) = (3x – 2)⁴

            Jadikan fungsi diatas menjadi sebuah komposisi.

            Misal u = 3x – 2 , maka f(x) = u⁴

Lalu selesaikan turunan f terhadap u, kemudian turunkan u terhadap x, seperti berikut :

            Menggunakan rumus :

            dy/dx  = dy/du . du/dx atau df/dx = df/dx . du/dx

y = f (x) = (3x – 2)⁴

Misal u = 3x – 2 , maka y = u⁴

dy/dx  = dy/du . du/dx

            = d(u⁴)/du . d(3x – 2)/dx

            = 7u³ x 3

            = 21u³

Jadi, dy/dx = 21 (3x – 2)³

PENERAPAN TURUNAN DI KEHIDUPAN SEHARI-HARI

            Salah satu konsep turunan yang sering digunakan adalah turunan pertama dan nilai maksimum serta minimum fungsi. Konsep turunan pertama fungsi banyak digunakan dalam masalah kecepatan dengan diketahui fungsi posisinya, sedangkan konsep nilai maksimum dan minimum fungsi digunakan dalam masalah luas seperti luas tanah dan bangunan, volume bangun ruang, dan ilmu ekonomi.

            Contoh soal :

                        Seorang anak menargetkan seekor burung dengan menggunakan ketapel yang    bertengger di sebuah pohon. Ketinggian pohon h = f (t) (dalam meter) pada t sekon dimodelkan dengan 

f (t) = 8t² + 250 t + 5. Tentukan kecepatan luncur kembang api saat t   = 5 sekon.

            Penyelesaian:
            Diketahui ketinggian pohon saat t sekon adalah:
            f (t) = 8t² + 250 t + 5

            Kecepatan luncur peluru ketapel diperoleh turunan pertama dari fungsi ketinggian (posisi)            peluru ketapel sebagai berikut.
            f ‘ (t) = 16t + 250
                ⇔f ‘ (5) = 16(5) + 250 = 80 + 250 = 330

Jadi, kecepatan meluncur peluru ketapel saat t = 5 sekon adalah 330 m/s.

INTEGRAL

Integral merupakan kebalikan dari turunan. Jika F(x) adalah fungs umum yang bersifat F(x) = f(x), maka F(x) merupakan anti turunan atau integral dari f(x). Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut :

                        ∫ f(x) dx = F(x) + C

                        Keterangan :

                        ∫ = notasi integral

                        f(x) = fungsi integral

                        F(x) = fungsi integral umum yang bersifat F(x) = f(x)

                        C = Konstanta

1.     INTEGRAL TAK TENTU

Rumus Dasar :

a)     ∫ a dx = ax + c

b)    ∫ xⁿ dx = 1/n+1 xⁿ⁺¹ + C dengan catatan n ≠ -1

c)     Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

§  ∫ sin x dx = - cos x + C

§  ∫ cos x dx = - sin x + C

Contoh :

o     ∫ 2x² + 4x + 8 dx           =  2/2+1 x²⁺¹ + 4/1+1 x¹⁺¹ + 8x + c

            =  2/3 x³ + 2x² + 8x + c

o    ∫ (2 sin x + cos 4x) dx    = -2 cos x + ¼ sin 4x + c

2.     INTEGRAL TENTU

Integral Tentu adalah integral dengan batas-batas yang sudah di tentukan, dengan dinotasikan sebagai berikut :

                        ∫^b_a  f(x) dx = [F(x)]^b_a = F(b) – F(a)

                        Keterangan :

                        A dan b adalah batas bawah integral dan batas atas integral.

            Contoh :

            Tentukan nilai dari ∫²₁ (4x³ + 2x³) dx?

            Penyelesaian :

           

                        ∫²₁(4x³ + 2x³)dx              = [4/4x⁴ + 2/4x⁴]²₁

                                                            =( (2)⁴ + ½(2)⁴ ) – ( (1)⁴+ ½(1)⁴ )

                                                            = (16 + 8) – (1+ ½ )

                                                            = 24 – 1 ½

                                                            = 22 ½

A.    INTEGRAL PARSIAL

Integral Parsial adalah suatu cara untuk menaikan pangkat suatu bilangan dua perkalian fungsi yang berbeda sehingga fungsi bilangan tersebut dapat menaikan pangkatnya (diintegralkan). Integral parsial dihubungkan dengan fungsi bilangan (u) dan (dv) yang fungsi tersebut akan dikali dan diintegralkan sesuai dengan aturan rumus integral parsial.

Integral Parsial memiliki cara khusus dimana dua bilangan fungsi dari (u) dan (dv) akan dihitung untuk mencari penurunan pangkat dari (u) atau biasa disebut (du) dan mencari kenaikan pangkat (dv) atau biasa disebut (v).

RUMUS UMUM :

∫ u.dv = u.v - ∫ v.du

Keterangan :

            Dengan (u) sebagai F(x) dan (du) sebagai F(x)'. Dan untuk fungsi (v) dan (dv) dalam soal kita memilih fungsi (dv) dengan syarat (dv) diintegralkansehingga membentuk (v). Setalah menemukan turunan (u) menjadi (du)dan integral (dv) menjadi (v). Nilai akan siap dimasukan ke dalam rumus             integral parsial.

Contoh :

                        ∫ x² (x+3)² = ∫ x² (x² + 6x + 9)

                                    Untuk (u) kita mengambil fungsi x² dan (dv) adalah (x² + 6x + 9) sehingga

                                                (u) = x²  diintegralkan, hasilnya menjadi :

                                                (du) = 2x

                                                (dv) = (x² + 6x + 9) diintegralkan, hasilnya menjadi :

                                                (v) = (1/3x³ + 3x² + 9x)

                                    Setelah menemukan u, du, dv dan v kita melanjutkan dengan rumus                                                        Parsial, sebagai berikut :

                                                ∫ u.dv = u.v - ∫ v.du

                                    Masukkan nilai u, du, dv dan v kedalam rumus :

                                    ∫ x² (1/3 x³ + 3x² + 9x)     = (x²) (1/3x³ + 3x² + 9x) - ∫(1/3 x³ + 3x² + 9x) (2x)

                                                                        = 1/3 x⁵ + 3x⁴ + 9x³ - ∫ 2/3x⁴ + 6x³ + 18x²

                                                                        = 1/3 x⁵ + 3x⁴ + 9x³ – 2/15 x⁵ + 3/2x⁴ + 6x³

                                                                        =1/3 x⁵ – 2/15 x⁵ + 3x⁴ + 3/2 x⁴ + 9x³ + 6x³

                                                                        = 1/5x⁵ + 4 ½ x⁴ +15 x³

                                    Jadi integral parsial dari ∫ x².(x+3)² hasilnya 1/5x⁵ + 4 ½ x⁴ +15 x³

B.    INTEGRAL SUBSTITUSI

Integral Substitusi juga merupakan salah satu teknik penyelesaian integral. Untuk menentukan ∫ f(x) dx , kita dapat mensubstitusikan u = g(x), dengan g fungsi yang dapat diintegralkan. Apabila substitusi itu mengubah f(x) dx menjadi h(u) du dan apabila H sebuah anti turunan dari h, maka kita dapat menotasikannya sebagai berikut :

∫ f(x) dx = ∫ h(u)du = H(u)+C = H( g(x) )+C

Contoh soal :

Tentukan integral dari: ∫(x²+2)²dx

Penyelesaian :

Kita Misalkan  :

            u = x2+2

            du/dx = 2x

            dx = ½ x du

Baru kita substitusikan ke soal :

            ∫(x²+2)²dx          =          ∫ u². ½ x du

                                    =          ½ .1/2+1 u²⁺¹+C

                                    =          1/6 u³+C,                       u = x²+2

                                    =          1/6(x²+2)³+C

Jadi, integral substitusi dari ∫( x²+2)² dx adalah 1/6(x²+2)³+C

C.    PENERAPAN INTEGRAL DI KEHIDUPAN SEHARI-HARI

            Integral dalam kehidupan sehari-hari sangatlah luas cangkupannya seperti digunakan di bidang teknologi, fisika, ekonomi, matematika, teknik dan bidang-bidang lainnya.

Contoh soal yang menggunakan integral dalam bidang ekonomi :

Diketahui MR suatu perusahaan adalah 12x²+6x-5, tentukan penerimaan totalnya (TR), jika c = 0?

TR        = ∫ MR dx

            = ∫12x²+6x-5

            = 12 1/3 x³ + 6 ½ x²-5x+C

            = 4x³+3x²-5x

Jadi, Penerimaan totalnya (TR) adalah 4x³+3x²-5x

Ket :

MR (Management Representative)